统计分为样本统计和统计（数理统计：1、样本统计及其抽样分布）

数理统计样本统计和统计

一、样本统计及抽样分布

本文不是专业介绍概率论，而是学习计算机图形学的数学笔记，主要参考浙江大学版《概率论与数学统计》第四版，在内容上做出选择。

概率论是从现实世界中的不确定性中抽象出来的数学理论。它描述了这些不确定性的共同规律和性质，是整个概率论和数学统计的基础。数学统计的内容包括数据收集和分类、数据性质和规律的分析、研究和推断。

概率论与数理统计的区别：统计分为样本统计和统计

可以认为概率论研究的随机变量的分布和数字特征是已知的，我们研究这些随机变量分布的特征；相反，研究的整体（随机变量）的分布和数字特征是未知的，需要通过已知的测试结果来推测整体分布和数字特征。

整体容量往往很大，或者不能穷，我们只能从整体中选择有限的个体进行研究，这部分个体被称为样本。因为样本来自随机抽样，样本也可以被视为随机变量。样本是统计推断的基础，但在应用中，通常不是直接使用样本本身，而是对不同问题构建样本的适当函数，使用这些样本函数进行统计推断，即统计量。样本平均值和样本方差是两个非常重要的统计量。因为样本可以被视为一个随机变量，所以统计量也是一个随机变量。因此，研究统计的分布是抽样分布。

统计分为样本统计和统计

为了区别于概率论，数理统计研究的随机变量称为总体，用大写字母表示，总体上是研究对象某一指标观察或测试结果的集合。总的来说，每个观察值称为个体，总的数量称为容量。总的来说

与随机变量不同的是，不同的是，总的存在是一个确定的事件，但其分布是未知的；随机变量每个结果的出现都是一个不确定的事件，但其分布是已知的。例如：所有中国人的身高都是一个整体，其客观存在，但其能力巨大，我们不能在现实生活中穷举，所以整体确定，其分布是未知的；掷骰子的结果是一个随机变量，在任何随机测试之前，我们不能确定投掷结果，但我们可以知道每个结果的概率，所以随机变量是不确定的，其分布是已知的。它们都有自己的分布，这是整体或随机变量的属性。数学统计的任务是找出整体服从的分布，或者整体服从分布的数字特征。

总体容量往往很大，或者不能穷举。我们只能从总体上选择有限的个体进行研究。这部分个体称为样本（specimen）。从整体上提取个体的过程称为抽样（sampling）。

数学统计的主要研究内容之一是样本数据的获取。对于不同的问题，需要设计科学的抽样方法。常用的抽样方法有：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、整组抽样、多端抽样……

简单随机抽样:指从整体上随意抽样，每个样本相互独立，被抽样的概率相等。简单随机抽样是一种不放回抽样。

系统抽样：设总体容量为，将每个个体进行编号。将总体等分为个分段，在第一个分段进行简单随机抽样得到个样本，然后根据这个样本的编号加上一个偏移值，得到在第二个分段中应该抽取的样本；加上，得到在第三个分段中应该抽取的样本；依次类推得到全部样本。

分层抽样：根据个体的一定性质（男女、年龄、职业）将整体分为个体，根据每个子的整体比例，简单地随机抽取相应的样本数量。

不同的抽样方法获得不同的样本性质。本文及其后续内容侧重于数据分析和整体性质推断，不涉及抽样方法。我们默认使用的样本是简单随机的样本，即通过简单随机的样本获得的样本，样本是独立的。

定义：设置为具有分布函数的随机变量。如果具有相同的分布函数和相互独立的随机变量，则称为从分布函数（或整体或整体）获得的容量的简单随机样本它们的观察值称为样本值，也称为独立观察值。

如果是样本，则相互独立，其分布函数为：

若有概率密度函数，则概率密度为：

理解：简单的随机样本可以被视为随机变量，因为抽样可以被视为随机测试：抽样前不知道样本的观察值，在相同条件下可以重复，有多个样本观察值。样本遵循整体分布，同时，样本也可以被视为维随机变量或随机向量，其服从分布。以上的关系。

例如，如果我们想研究一款新手机的续航时间所服从的分布，那么我们生产的所有同一款手机都构成了一个整体，其容量是。我们简单地从这批手机中随机抽取样本是简单的随机样本，其耐久性是一个独立的观察值。这个样本构成了一个样本空间，所以我们也说它是一个随机变量，它的分布函数应该与整体分布函数相同。

从整体抽样中获得的样本通常是混乱的。为了方便我们的分析，我们需要整理数据并绘制统计图表。以下是中学文凭的频率分布方图：

样本容量是频率直方图的横坐标，是样本范围m每个小区间的长度是样本落在第一个小区间的频率。频率为直方图的垂直坐标是一个小矩形面积，等于数据落在小区间的频率。根据伯努利的大数定理，当它非常大时，频率接近概率。因此，频率分布直方图的外轮廓接近整体概率密度曲线。

样本p分位数定义：样本观察值为容量，样本分位数为，具有以下性质：

至少有一个观察值小于或等于至少有一个观察值大于或等于其计算公式：

特别，当，称为样本中位数，记为或，即：

另外，当称为第一四分位数时，记为；称为第三四分位数，记为。

箱线图的绘制非常简单：对样本数据进行排序，计算：，然后在数轴上标记这些数据，绘制以下统计图：

箱线图反映了数据的集散程度：范围内的数据数量占1/4。当范围较短时，表示落在范围内的点较集中，反之则较分散。

样本是统计推断的基础，但在应用中，通常不是直接使用样本本身，而是对不同问题构建样本的适当函数，使用这些样本函数进行统计推断，即统计。因为样本可以被视为一个随机变量，所以统计也是一个随机变量。因此，研究统计的分布是抽样分布。

统计量的定义：设置是一个整体样本，是的函数，如果不包含未知参数，则称为统计量。

因为它们都是随机变量，统计是随机变量的函数，所以统计是随机变量。设置与样本相对应的样本值，称为观察值。

以下是一些常见的统计量：

样本平均值

其观测值为：

注意样本方差的统计分母是否不是方差公式，推荐文凭样本网络问答：我将在下一章中简要介绍无偏差的起源。

样本标准差

样本k阶(原点)矩

样本k阶(中心)矩

根据辛钦大数定理，如果整体阶矩记为存在：

这是矩估计法的理论依据。

经验分布函数是一种类似于整体分布函数的函数，也是一种统计量。它是一个整体样本，表示样本值不大于的随机变量。经验分布函数为：

一般来说，设置是总容量的样本值。首先从小到大排序，重新编号。设置为:

经验分布函数的观察值为：

数学家格里汶科证明了经验分布函数：

因此，当充分大时，经验分布函数与总体分布函数只有微小差别，从而在实际上可以当作来使用。

统计量的分布称为抽样分布。在使用统计量进行统计推断时，通常需要知道它的分布。当整体分布函数已知时，确定抽样分布，但一般难以准确分布统计量。本节介绍了几种正常统计量的分布。

设置来自整体样本，称为统计量：

服从自由分布，记为。中文名卡方分布。当卡方分布的自由度很大时，它类似于正态分布。分布的概率密度为：

根据分布的可加性，

可分布的可加性取决于分布的可加性：

分布的可加性：设置和独立性包括：分布的数学期望和方差：如果有：分布的分位点：对于给定的正数，称为满足条件：设置和独立，称为随机变量：

服从自由n的t分布。t分布的概率密度函数为：

当图像完全大时，图像与标准正态变量概率密度相似。

因此，当分布足够大时，分布类似于分布。但分布差异较大。

分布点：对于给定点，称为满足条件：

分布的上分位点

由t分布上分位点的定义及h(t)图形对称性知：

设置，相互独立，称为随机变量：

服从自由的F分布，记为，分布的概率密度为：

定义可知，若，则

F分布点：对于给定点，称为满足条件：

分布的上分位点。F分布的上分位点具有以下重要性：

定理:总体平均值(无论服从什么分布，只要平均值和方差存在)为，方差为，来自样本，即样本平均值和方差，包括:

在下一章中，定理的建立说明了估计量的无偏性。

这些定理在统计推理中有着重要的应用：

定理1:样本来自正态的整体，是样本的平均值，包括:

定理二:设定来自正态整体的样本，即样本平均值和样本方差，包括:

与相互独立

定理三：设定来自整体样本，即样本平均值和样本方差，包括:

定理4：设置和分别来自正态整体和样本，两个样本相互独立。设置是两个样本的样本平均值；两个样本的样本方差包括：找到30320816个原始统计样本统计和统计图片，包括统计样本统计和统计图片、材料、海报、证书背景、源文件PSD、PNG、JPG、AI、CDR等格式素材！

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