积分二中值定理
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"ЗначительноболееспециальнойиделикатнойврамкахтеорииинтегралаРиманаявляетсятакназываемаявтораятеоремаосреднем."——В.А.ЗоричМАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ在黎曼积分理论范围内，人们所说的第二中值定理更加特别和美妙。——B.A.Zorich李植译高等教育出版社数学分析Preliminary:黎曼积分的简单定义，微积分的基本原理
Theorem积分二中值定理:f是区间上的单调函数，有
以下是两种证明。第一个来自McGill的Math255的LectureNote(大部分教材也应该采用)，第二种来自Zorich老爷子。
因此，我们不能直接使用微积分学的基本定理lagrange中值定理。当然也可以用，得到的是另一种关系。除了直接用lagrange，我们可以们可以用分步积分法，lagrange同时，和f(x)它是单调的（一般要求严格单调，主要保持以下等式），换元后的积分值不会重叠，因此得到，最后一点分类可以得到第二个中间值定理。
我们通常从这个定理中证明这个定理Bonnet公式入手。
Bonnet公式：永胜县第二中学文凭
,f在范围内非负不增的函数
这里需要一项非常重要的技能Abel变换，Abel变更：永胜县二中毕业证书：
,还有以下应用:永胜县二中毕业证
因此，最终的结果是非负，大于0，Lemma：Proof：
根据黎曼积分的定义，上述等式的后端部分越小，后端部分趋于0，所以我们只需要研究前面的部分。使用以上内容Abel转换引导。因为后面的积分肯定是有限的，肯定存在M比它略大，m比它略小。
即，当f(a)=0很明显Bonnet公式成立。而f(a)当大于0时，它可以是连续的，所以有，到此为止Bonnet公式证完。
让我们直接探索一下Bonnet公式与积分第二中值定理的联系。
我们可以看到，事实上，第一种证明方法需要比第二种方法更苛刻的条件，因为在使用复合函数积分时，必须要求该等式建立，即严格单调，或者导数为0的点（如果可以指导）只能是孤立的。
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