勾股定理怎么证明的(初中数学｜勾股定理的多种证明方法)

　　【证法1】(课本证明)

　　制作8个全等直角三角形，分别设置两个直角边长a、b，斜边长为c，分别做三个边长a、b、c正方形把它们像上图一样拼成两个正方形.

　　从图中可以看出，这两个方形的边长都是a b，因此，面积相等.即

　　注：△GAD改为△CAD。

　　【证法9】(杨作玫证明)

　　做两个全等的直角三角形，分别设置两个直角边长a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.将它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作DE垂直于CB延长线，垂直于CBE，DE交AF于H.

　　∵∠BAD=90o，∠PAC=90o，

　　∴∠DAH=∠BAC.

　　又∵∠DHA=90o，∠BCA=90o，AD=AB=c，

　　∴RtΔDHA≌RtΔBCA.

　　∴DH=BC=a，AH=AC=b.

　　由作法，PBCA是矩形，所以RtΔAPB≌RtΔBCA.

　　即PB=CA=b，AP=a，从而PH=b―a.

　　∵RtΔDGT≌RtΔBCA,

　　RtΔDHA≌RtΔBCA.

　　∴RtΔDGT≌RtΔDHA.

　　∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.

　　又∵∠DGT=90o，∠DHF=90o，

　　∠GDH=∠GDT ∠TDH=∠HDA ∠TDH=90o，

　　∴DGFH这是一个方形，边长为a.

　　∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GT―GF=b―a.

　　∴TFPB是直角梯形，上底TF=b―a，下底BP=b，高FP=a （b―a）.

　　用数字表示面积的编号(如图所示)，以c为边长的正方形面积为

　　【证法10】(李锐证明)

　　直角三角形两个直角边的长度分别为a、b（b>a），斜边的长为c.分别做三个边长a、b、c正方形，将它们拼成如图所示的形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号(如图所示).

　　∵∠TBE=∠ABH=90o，

　　∴∠TBH=∠ABE.

　　又∵∠BTH=∠BEA=90o，BT=BE=b，

　　∴RtΔHBT≌RtΔABE.

　　∴HT=AE=a.

　　∴GH=GT―HT=b―a.

　　又∵∠GHF ∠BHT=90o，

　　∠DBC ∠BHT=∠TBH ∠BHT=90o，

　　∴∠GHF=∠DBC.

　　∵DB=EB―ED=b―a，∠HGF=∠BDC=90o，∴RtΔHGF≌RtΔBDC.即.

　　过Q作QM⊥AG，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90o，

　　可知∠ABE=∠QAM，

　　而AB=AQ=c，所以RtΔABE≌RtΔQAM.

　　又RtΔHBT≌RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.

　　由RtΔABE≌RtΔQAM，

　　又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAE.

　　∵∠AQM ∠FQM=90o，∠BAE ∠CAR=90o，

　　∠AQM=∠BAE，

　　∴∠FQM=∠CAR.

　　又∵∠QMF=∠ARC=90o，QM=AR=a，

　　【证法16】(陈杰证明)

　　直角三角形两个直角边的长度分别为a、b（b>a），斜边的长为c.分别做两个边长a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示的形状，使E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号(如图所示).

　　在EH=b上截取ED=a，连结DA、DC，则AD=c.

　　∵EM=EH HM=b a,ED=a，

　　∴DM=EM―ED=-a=b.

　　又∵∠CMD=90o，CM=a，∠AED=90o，AE=b，

　　∴RtΔAED≌RtΔDMC.

　　∴∠EAD=∠MDC，DC=AD=c.

　　∵∠ADE ∠ADC ∠MDC=180o，

　　∠ADE ∠MDC=∠ADE ∠EAD=90o，

　　∴∠ADC=90o.

　　∴作AB∥DC，CB∥DA，ABCD是一个边长为c的正方形.

　　∵∠BAF ∠FAD=∠DAE ∠FAD=90o，

　　∴∠BAF=∠DAE.

　　连结FB，在ΔABF和ΔADE中，

　　∵AB=AD=c，AE=AF=b，∠BAF=∠DAE，

　　∴ΔABF≌ΔADE.

　　∴∠AFB=∠AED=90o，BF=DE=a.

　　∴点B、F、G、H一条直线.

　　在RtΔABF和RtΔBCG中，

　　∵AB=BC=c，BF=CG=a，

　　∴RtΔABF≌RtΔBCG.